：と直線

：を考える。

(3) aを(1)で求めた値より小さい正の定数とする。このとき、直線l：は曲線Cと共有点をもたない。点Pが曲線C上を動き、点Qが直線l上を動くとき、線分PQの長さが最小となるのは、点Pの座標がのときである。この点Pがy軸上にあるのはのときであり、このとき最小の線分の長さを求めるととなる。

C：

　･･･�@

∴
接点はC上の点であってかつl上の点なので、そのy座標について、

　･･･�A

よって、より、接点のx座標は、

......[答]

共有点Aの座標は、 ......[答]
別解．定数aの分離によっても解答できます(微分法の方程式への応用(2)を参照)。
Cとlの方程式を連立して、

はこれを満たさないので、xで割って、

　･･･�B

とすると、

x		0
	−	×	−	0	＋
		×

，，，より(関数の増減を参照)、のとき方程式�Bはただ1つの実数解をもち、接点のx座標はになります。

(2) (1)のとき、直線lは、 となります。求める体積Vは、底面が半径の円で高さeの円錐の体積から、曲線Cとy軸と直線で囲まれる部分をy軸のまわりに回転させた回転体の体積を引いたものになります(y軸のまわりの回転体を参照)。

両辺の対数を考え、
∴

　(部分積分法を参照)

∴ ......[答]

(3) 線分PQの長さが最小になるのは、Pにおいて曲線Cに傾きaの接線が引けるときで、(1)の�@，�Aと同様にして、接点のy座標は、

接点のx座標は、
線分PQの長さが最小となるときのPの座標は、 ......[答]
点Pがy軸上にあればx座標は0で、

∴ ......[答]
このとき、Pの座標は，最小の線分の長さは、Pと直線l：との距離として、

......[答]　(点と直線の距離を参照)

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