慶大理工数学'11[A3]

実数θ
の範囲を動くとする。空間内の動点Pと点Qを通る直線が、xy平面と交わる点をRとする。xyθ の関数として表すと、
となる。これより、xyを用いて表すと、
となる。したがって、θ が上の範囲を動くとき、点Rxy平面上の軌跡の方程式をとすれば、となる。
次に、
xy平面内の領域D
と定め、領域Dの面積を求めることを考える。直線を原点Oを中心として、回転した直線の方程式はとなる。また、曲線を原点を中心として、回転した曲線の方程式を ()とすれば、
となる。領域Dを原点を中心として、回転した領域をとすれば、領域Dと領域は合同だから、
である。

解答 有名曲線だし、穴埋め問題なので座標回転を持ち出すまでもないでしょう。

直線PQ上の点は、
 (直線のベクトル方程式空間ベクトルを参照)
xy平面上では、
として、よりなので、
よって、

()  () ......[]

 ・・・@

()  () ......[]


 ・・・A (双曲線を参照)
と@より、

よって、
Aより、となりますが、複号は、−をとると、より、となってしまうので、+をとることになります。よって、

()
(
) ......[]
直線と原点との距離はです。直線を原点Oを中心として回転したとき傾きの直線になりますが、原点との距離はやはりです。傾きの直線を ()として、原点との距離は、
 (点と直線の距離を参照)
よって、回転後の直線の方程式は、 ・・・B
() ......[]
Aはを漸近線とする直角双曲線です。Aのの部分を回転すると第1象限に来ますが、漸近線はx軸とy軸になり、直角双曲線は (p:定数)となります。
Aは
y軸とで交わりますが、この点を回転するとに来ます。直角双曲線を通るので、
回転後の直角双曲線は
(1象限にあるので) ・・・C
() ......[]
B,Cを連立すると、


面積Sは、
 (不定積分の公式を参照)
() ......[]


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