慶應大学理工学部2012年数学入試問題

[1](1) 3つの行列の積
の成分が任意の実数xyに対し0以上となるような実数aの範囲を不等式で表すと ア となる。
(2) が直角の直角三角形ABC2ABBCの長さをそれぞれ31とする。また、を満たすxに対し線分BC1xに外分する点をDとする。いま、が成り立つとすると、 イ であり、△ACDの外接円の半径は ウ である。
(3) 関数
を満たすとき、の値は エ または オ である。求める過程も解答欄(3)に書きなさい。
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[2] 円と外接し、x軸と接する円で中心のx座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする。
(1) 条件Pを満たす円の中心は、曲線 カ  ()の上にある。また、条件Pを満たす半径9の円をとし、その中心のx座標をとすると、 キ である。
(2) 条件Pを満たし円に外接する円をとする。また、に対し、条件Pを満たし、円に外接し、かつ円と異なる円をとする。円の中心のx座標をとするとき、自然数nに対しを用いて表しなさい。求める過程も書きなさい。
(3) (1)(2)で定めた数列の一般項を求めなさい。求める過程も書きなさい。
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[3] 袋の中に文字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつと、文字が書かれたカードが何枚か入っている。いま、袋の中から1枚ずつカードを取り出し、のすべての文字のカードがそれぞれ1枚以上出たところで終了する。ただし、一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする。
(1) 袋の中に文字が書かれたカードが7枚あり、合計10枚のカードが入っている場合を考える。3枚目に文字のカードを取り出す確率は ク であり、1枚目または3枚目に文字のカードを取り出す確率は ケ である。また、最後に取り出したカードに書かれている文字がである確率は コ である。
(2) 袋の中に文字が書かれたカードがn ()あり、合計枚のカードが入っている場合を考える。k枚目で終了する確率をとすると、 サ であり、に対しては シ である。いま、終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値をとすると、 ス が成り立つ。
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[4] ABCDE1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし、4個の正三角形を側面とする正四角錐とする。
(1) CDEの重心をGとする。ベクトルで表すと、 セ となる。
(2) でないベクトルが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき、は平面αと垂直であるという。 (abcは実数)が△CDEを含む平面と垂直なとき、abc  ソ である。よって、かつとなるようにabcを定めると、 タ となる。
(3) 正四角錐ABCDEの△CDEに、各辺の長さが1の正四面体CDEFを貼り付ける。ベクトルで表すと、 チ となる。また、Hを辺ECの中点とすると、 ツ であり、△AHFの面積は テ である。
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[5] とし、x3次関数
と定める。また、に対し、曲線x軸および2直線で囲まれた部分の面積をで表す。
(1)  ト である。
(2)  ナ で極小値をとる。曲線上にあり、xの値 ナ に対応する点をPとする。aの値が変化するとき、点Pの軌跡は曲線 ニ  ()である。
(3) を満たす正の実数t が存在するようなaの値の範囲を不等式で表すと ヌ となる。以下、aの値はこの範囲にあるとする。cを満たす最大の正の実数とする。区間におけるの最大値、最小値をそれぞれとするとき、 ネ となる。
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