慶應大学理工学部2013年数学入試問題

[1] 座標平面上において、方程式で表される図形Cを考える。行列を用いると、この方程式は と表せる。
であるθ を用いて、と表される行列Pが、ある実数αβ ()に対し、を満たすとする。このとき、であり、である。とおくと、図形Cの方程式
となる。
図形
C上の2点間の距離の最大値はであり、この最大値を与える図形C上の2点の座標はである。
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[2] 定数aを満たすとする。座標平面上において、直線とし、点Pとする。
を満たす
kに対して、直線を傾きがkで、点Pを通るものとする。このとき、2直線の交点のx座標はである。また、2直線およびy軸で囲まれた三角形の面積をとすると、である。このとき、が最小となるkの値を定数aを用いて表すとであり、の最小値をaを用いて表すとである。
以下、とする。を満たす
kに対して、直線を傾きがkで、点Pを中心とする半径の円と接し、かつ接点のy座標が2よりも小さいものとする。2直線およびy軸で囲まれた三角形の面積をとする。このとき、が最小となるkの値はおよびであり、の最小値はである。
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[3](1) 座標平面上で、点Pが原点を出発して次の2つのルールに従って移動を繰り返し、原点から停止するまで移動した点を順に線分で結んでできるものを経路ということにする。
ルール1またはy4となる点に達するまで移動を繰り返し、その点で停止する。
ルール2:点の次に移動できるのは、3のうちいずれかの点である。ただし、原点およびこれまでに移動した点には移動しない。
このとき、点で停止する経路は全部で通りである。
また、すべての経路は通りであり、そのうち、点を通る経路は全部で通りである。

(2) aを実数とし、関数
を考える。の最小値はaであるとする。このとき、であり、で最小値でない極小値をとる。
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[4] 放物線と直線で囲まれた図形を、直線のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めたい。
(1) とする。直線上にあり原点Oからの距離がrとなる点のうち、x座標が0以上の点をPとする。点Pを通り直線に垂直な直線をとすると、の方程式はとなる。また、点Pが放物線上にあるのは、のときである。
(2) とし、点Pと直線(1)のようにとると、直線と放物線の交点のうち、x座標が0以上の点をQとする。点Pと点Qの距離PQ2乗をrを用いて表すと、となる。求める過程を解答欄(2)に書きなさい。
(3) 求める立体の体積V
となることを用いて、Vを求めなさい。求める過程も解答欄(3)に書きなさい。
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[5] zを複素数とする。自然数nに対しての実部と虚部をそれぞれとして、2つの数列を考える。つまり、を満たしている。ここで、iは虚数単位である。
(1) 複素数zが、実数θ を用いての形で与えられたとき、任意の自然数nに対してが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい。
(2) 複素数zが、正の実数rと実数θ を用いての形で与えられたとする。このとき、数列がともに0に収束するための必要十分条件を、rθ の範囲で表すと、となる。解答欄(2)に、は数列がともに0に収束するための十分条件であること、および必要条件であることの証明を書きなさい。
(3) のとき、無限級数はともに収束し、それぞれの和はである。
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