慶大理工数学'13年[2]
定数aは
を満たすとする。座標平面上において、直線
を
とし、点
をPとする。
を満たすkに対して、直線
を傾きがkで、点Pを通るものとする。このとき、2直線
と
の交点のx座標は
である。また、2直線
と
およびy軸で囲まれた三角形の面積を
とすると、
である。このとき、
が最小となるkの値を定数aを用いて表すと
であり、
の最小値をaを用いて表すと
である。
以下、
とする。
を満たすkに対して、直線
を傾きがkで、点Pを中心とする半径
の円と接し、かつ接点のy座標が2よりも小さいものとする。2直線
と
およびy軸で囲まれた三角形の面積を
とする。このとき、
が最小となるkの値は
および
であり、
の最小値は
である。
解答 ちょっと見た目には平凡な最大最小問題に見えるのですが、やってみると地獄が待っています。実戦的には、後半はパスするか、カンで埋めておくのが賢明でしょう。
傾きaの直線
の方向ベクトルを
，y軸の方向ベクトルを
とします(直線のベクトル方程式を参照)。
直線
と直線
との交点の位置ベクトルを
，直線
とy軸との交点の位置ベクトルを
とします。題意より
，
です。
，
を通る直線
の傾きkは(直線の方程式を参照)、
･･･①
と
のなす角をαとして(
)、
より、
直線
上の点の位置ベクトルを
･･･③
･･･④
また、点Pの位置ベクトル
について、
とおくと、
，
上の点なので、
は③を満たします。このとき、
④に代入すると、
･･･⑤
①より、
よって、2直線
と
の交点のx座標は、
より、
(ケ) 
......[答]
②と(ケ)の結果より、
(コ) 
......[答]
②より、
は
の定数倍なので、⑤の条件下に
の最小値を考えます。相加平均相乗平均の関係より、
これより、
等号は、
，つまり、
，
のときに成立します。
このとき、⑥より、
(サ) 
......[答]
の最小値は、
(シ) 
......[答]
別解．図形と方程式でやるなら、直線
の方程式：
と連立して、
直線
のy切片が
であることから、
においては、
のときに、最小値
となります。
後半ですが、
なので、直線
の方向ベクトルを
とします。
直線
と直線
との交点の位置ベクトルを
，直線
とy軸との交点の位置ベクトルを
とします(
，
，
)。
直線
の方向ベクトルは
，法線ベクトルは
です(
)。
直線
と円の接点Rの位置ベクトルは、t を実数として、
と表せます。
また、円の中心Cの位置ベクトルを
として、円の中心Cから接点Rに向かうベクトル
は
と平行で、
とおけます。よって、
との内積をとると、
これより、円の半径が
であることから、
とおき、分母を払って2乗すると、
∴ 
これをxの2次方程式とみると、
は実数なので、2次方程式は実数解をもち、判別式Dについて、
より、
･･･⑦ のとき、②と同様に、
となります(このとき、条件を満たすp，qが存在すれば、この
が
の最小値です)。2次方程式は重解をもち、
∴ 
∴ 
，
(i) 
のとき、⑦より、
(条件を満たします) 
，
を結ぶ直線の傾きは、(ii) 
のとき、⑦より、
(条件を満たします) 
，
を結ぶ直線の傾きは、
を最小とするkの値は、
または 
(ス) 0 (セ) 
......[答]
の最小値は
(ソ) 
......[答]
別解．微分でやるなら、例えば、
からx軸負方向に伸ばした半直線と円の中心と接点を結ぶ半径のなす角をθ として(
を、
，
を満たす角として、
)、接点は
接線
の方程式は、
整理して、
傾きは
，y切片は
と連立すると、
(αは、
，
を満たす角、三角関数の合成を参照)は、
において、
となるので、
です。
は、
より、
に1解
、
に1解
を持ちます(三角関数を含む方程式を参照)。
∴ 
または
∴ 
または
は、
の範囲に1解
を持ちます。
なので、増減表は、
を最小とするkは、
または
の最小値は
この解法では猛烈な労力を強いられます。
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，
∴ 
，
･･･⑥
∴ 
より、
