慶大理工数学'20[4]

実数全体で定義された連続な関数に対し、
とおく。

(1) のとき、である。

(2) 実数全体で定義された連続な関数に対し、は奇関数であることを示しなさい。

(3) のとき、の導関数を求めると、である。

(4) が偶関数であり、となるとき、である。このとき、の値はである。

解答 ゴツい積分方程式の問題ですが、流れに乗って解答すれば、大したことはありません。

(1)() のとき、
......[] (不定積分の公式を参照)

(2) が奇関数であることを示すためには、という関係式を示します。問題文の式でとして、
ここで、という形になるように、,つまり、とおくと、tのときu (置換積分を参照)
よって、は奇関数です。

(3)() 問題文の式を微分すれば良いのですが、
 (加法定理を参照)
としてしまうと、
これでは、被積分関数の中のxを積分の外に追い出すことができず、微分しようがありません。
そこで、
(2)で置換積分したことを受けて、ここでも置換積分を考えます。
とおくと、
tのとき、u
左辺と右辺をx微分して、
......[]

(4)() が偶関数、ということは、 ・・・@ が成り立つ、ということです。積分がのままでは被積分関数の中のxを積分の外に追い出すことができないので、(3)と同じく、置換積分します。
とおくと、tのとき、u
左辺と右辺をxで微分して、
 ( @)
のとき、,よって、

......[]

()
 (部分積分法を参照)



2番目の積分はとおいて、より、xのとき、θ

......[]


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