慶大理工数学'23年[4]
(1) 
において常に不等式
が成り立つような実数bの値の範囲は
である。
以下、bを
を満たす0でない実数とし、数列
を、
(
)
(2) 
が成り立つことを証明しなさい。
(3) 
である。
(5) 
である。
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解答 (4)は漸化式を作るので、当然部分積分になりますが、ちょっと引っかかるかも知れません。
(1) bが両辺に別れていてはやりにくいので、
で割って、1つだけにします。 
のとき、与不等式は、
となり、常に成立します。
のとき、与不等式両辺を
で割ると、①より、
において
より、これが常に成立するためには、
，つまり、
･･･③
②より、
において
より、これが常に成立するためには、
，つまり、
･･･④
と③，④より、
......[シ]，1 ......[ス]
において、
より、この左辺と右辺は、
より、⑤は、
よって、
･･･⑥
，はさみうちの原理より、
以上より、
かつ
のとき、
です。(証明終)
(3) 
かつ
のとき、 
......[セ]注．
とおいて置換積分すると、
，x：
のときt ：
より、 となるのですが、(2)，(3)の定積分においては、t をそのまま
と書いています。
は
と書きます。こう書くと、定積分の上端と下端は
と0のままでよいことになります。
(4) 漸化式を作ろう、ということで、
を部分積分するのですが、これを、 と見て、
とすると破綻します。
これで、
を部分積分を用いて
で表そう、という最初の思惑とは異なりますが、項番号を1つずらせて、 
......[ソ] ･･･⑦
(5) (2)を利用するのだろう、ということで、(4)で求めた漸化式を用いて、
がどうなるかを調べてみます。⑦の両辺に
をかけて、 
･･･⑧感じをつかむために、
としてみます。 
･･･(＊) と仮定すると、⑧を用いて、
･･･⑨よって、数学的帰納法より、
となる自然数nに対して、(＊)が成立します。⑨の両辺に
をかけると、 
･･･⑩
かつ
のとき、⑥より、
，ここで、
とすると、
より、
(はさみうちの原理を参照)このとき、⑩で
とすると、右辺→
は
を満たすので、⑩で
として、
とすると、[セ]より、
......[タ]
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を
，n，bを用いて表すと、
となる。
かつ
のとき、
が常に成立するので、
なので、