京都大学理系2002年前期数学入試問題

[1] 数列の初項から第nまでの和をと表す。この数列が
 ()
を満たすとき、一般項を求めよ。
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[2] 半径1の円周上に相異なる3ABCがある。
(1) ならばは鋭角三角形であることを示せ。
(2) が成立することを示せ。また、この等号が成立するのはどのような場合か。
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[3] は整数を係数とするx4次式とする。4次方程式の重複も込めた4つの解のうち、2つは整数で2つは虚数であるという。このときabcの値を求めよ。
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[4](1) で定義された関数について、導関数を求めよ。
(2) 極方程式 ()で定義される曲線の、の部分の長さを求めよ。
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[5] abcを実数とする。のグラフが相異なる3つの交点を持つという。このときが成立することを示し、さらにこれらの交点のx座標のすべては開区間に含まれていることを示せ。
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[6] とし、aは正の数とする。複素数平面上の点,・・・ をつぎの条件(i)(ii)を満たすように定める。
(i) , 
(ii) のとき、点を原点のまわりに回転すると点に一致する。
このとき点 ()が点と一致するようなnが存在するための必要十分条件は、q が有理数であることを示せ。
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