京都大学理系2003年前期数学入試問題

[1] 正の数からなる数列が次の条件(i)(ii)をみたすとき、を求めよ。
(i)
(ii) ()
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[2]  ()とする。点におけるの法線と、のグラフのの部分、およびy軸とで囲まれる図形を考える。この図形をx軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ。
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[3] 四面体OABCは次の2つの条件
(i)
(ii) 4つの面の面積がすべて等しい
をみたしている。このとき、この四面体は正四面体であることを示せ。
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[4] 多項式は多項式で割り切れるか。
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[5] abcdを実数とする。2次の正方行列2次の単位行列Eに対して、集合
とする。このとき次の条件()が成立するための、abcdについての必要十分条件を求めよ。
() の要素Bは零行列でなければ逆行列をもつ
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[6] nチームがリーグ戦を行う。すなわち、各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する。引き分けはないものとし、勝つ確率はすべてで、各回の勝敗は独立に決まるものとする。このとき、1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ。ただし、n3以上とする。
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