京都大学理系2004年前期数学入試問題

[1] とする。におけるの最大値および最小値を求めよ。
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[2] とし、で定義された関数を考える。のグラフより下側でx軸より上側の部分の面積をaで表せ。ただし、eは自然対数の底である。
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[3] n2以上の自然数とする。で割った余りをとする。すなわち、xの多項式があって
が成り立っているとする。を求めよ。
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[4] 行列AB
とする。次の()が成り立つための実数abについての必要十分条件を求めよ。
() どんな2次正方行列Yに対しても、2次正方行列Xとなるものがある。
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[5] 複素数aに対してその共役複素数をであらわす。aを実数ではない複素数とする。複素平面内の円Cが、1aを通るならば、Cも通ることを示せ。(注意:複素平面のことを複素数平面ともいう)
[
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[6] Nを自然数とする。個の箱があり、1からまでの番号が付いている。どの箱にも玉が1個入っている。番号1からNまでの箱に入っている玉は白玉で、番号の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作()を、おのおののに対して、kが小さい方から順番に1回ずつ行う。
() k以外の番号のN個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号kの箱の中身を交換する。(ただし、N個の箱から1個の箱を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。)
操作がすべて終了した後、赤玉が番号の箱に入っている確率を求めよ。
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