京都大学理系2005年前期数学入試問題

京都大学理系2005年前期数学入試問題
[1]　xy平面上の原点と点

を結ぶ線分(両端を含む)をLとする。曲線

がLと共有点をもつような実数の組

の集合をab平面上に図示せよ。
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[2]　

を満たす自然数nは何個あるか。ただし、

である。
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[3]　α，β，γは相異なる複素数で、

を満たすとする。このとき、α，β，γの表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。(ただし、複素平面を複素数平面ともいう。)
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[4]　

を満たす整数の組

をすべて求めよ。
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[5]　kを正の整数とし、

の範囲で定義された2曲線

：

，　

：

を考える。
(1)

と

は共有点をもつことを示し、その点における

の接線は点

を通ることを示せ。
(2)

と

の共有点はただ1つであることを証明せよ。
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[6]　先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただし、

とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車輌の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
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