京大理系数学
'07
年
前期甲
[1]
検討
甲
[1]
(
解答は
こちら
)
問
1
は、ハミルトン・ケーリーの定理を用いて、行列の多項式の次元を下げるという典型問題です。行列には除算がないので、同型の
(
x
に関する
)
多項式で除算を行うことになります。即ち、行列
A
の多項式
があるとき、
x
の多項式
を多項式
で割ったときに商が
,余りが
だとして、
このとき、
x
を行列
A
に代えてできる等式
が成り立ちます。ここで、ハミルトン・ケーリーの定理によって、
(
零行列
)
となるのであれば、
です。
問
2
は、
1
から
の異なる
通りの数の中から
3
つの数を選んで
(
通り
)
、小さい順に
x
,
y
,
z
とする
(
)
とき、
y
から
1
を引いて、
z
から
2
を引けば、
となり、この問題の
3
回の得点の条件を満たします。この考え方が、もっとも簡単かも知れません。
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