京大理系数学'07前期甲[1]検討

[1](解答はこちら) 問1は、ハミルトン・ケーリーの定理を用いて、行列の多項式の次元を下げるという典型問題です。行列には除算がないので、同型の(xに関する)多項式で除算を行うことになります。即ち、行列Aの多項式があるとき、xの多項式を多項式で割ったときに商が,余りがだとして、
このとき、xを行列Aに代えてできる等式
が成り立ちます。ここで、ハミルトン・ケーリーの定理によって、 (零行列)となるのであれば、
です。
2は、1からの異なる通りの数の中から3つの数を選んで(通り)、小さい順にxyzとする()とき、yから1を引いて、zから2を引けば、となり、この問題の3回の得点の条件を満たします。この考え方が、もっとも簡単かも知れません。


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