京大理系数学
'07
年前期甲
[4]
において、
の二等分線とこの三角形の外接円との交点で
A
と異なる点を
とする。同様に
,
の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ
,
とする。このとき
3
直線
,
,
は
1
点
H
で交わり、この点
H
は三角形
の垂心と一致することを証明せよ。
解答
ベクトルで解答することも考えられますが、円周角に目を付ければ、平凡に解決します。
の二等分線、
の二等分線,
の二等分線は、
1
点で交わり、交点は
の
内心
です。従って、
3
直線
,
,
は
1
点
H
で交わり、
H
は
の内心に一致します。
また、同一弦の上に立つ円周角は等しいので、
と
の交点を
D
とすると、
において、
よって、
同様にして、
,
よって、
3
直線
,
,
の交点
H
は、三角形
の
垂心
と一致します。
(
証明終
)
追記
の二等分線、
の二等分線,
の二等分線が
1
点で交わることについては、以下のようにして示します。
の二等分線,
の二等分線の交点を
I
とし、
I
から
AB
,
BC
,
CA
に垂線
IP
,
IQ
,
IR
を下ろします。
,
において、
,
,
IB
共通、より、
∴
・・・@
,
において、
,
,
IC
共通、より、
∴
・・・A
@,Aより、
これと、
,
IA
共通より、
∴
よって、
IA
は
の二等分線であって、
の二等分線、
の二等分線,
の二等分線は
1
点
I
で交わります。
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