京大理系数学'07年前期乙[1]検討

京大理系数学'07年前期乙[1]検討
乙[1](解答はこちら)　問1の

という積分は、まずは、根号

をtとおきます。ですが、

となってしまうので、

が残ってしまいます。
ここは、

という形ですが、

という形の積分も時々見かけます(

とします)。どちらも手間はかかりますが、

と教科書流に置いて積分を行えます。

より、

　(C：積分定数)

とおくと、

　(

：積分定数)

この問題ではノー・ヒントなのですが、通常は、

は、

を参考にせよ、というヒントがつくので、ヒントに従って、

　(

：積分定数)　･･･①

とすればよいと思います。

については、部分積分を行って、

より、右辺に出てきた

を左辺に移項して、

ここで、①を使って、

　(

：積分定数)

とします。

解答に書いたように、

と置けば、

より、

　(

：積分定数)

また、

を2乗して、

∴

　(

：積分定数)

より、

，

∴

問2は、重複組み合わせが出てこない分だけ、別解の方が簡単に済みます。1歩で2段上る回数が5回以下ということをつかんだら、同じ位置に1個しか入らない方を後から入れていく方が良いということです。

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