すべての実数で定義され何回でも微分できる関数が，を満たし、さらに任意の実数

に対してであって、
　　　
を満たしている。

(1) 任意の実数aに対して、であることを証明せよ。

(2) のグラフはで上に凸であることを証明せよ。

できる関数というのは、も、も、

　･･･�@

(1) を満たす実数bが存在すると仮定します。�@より、任意の実数aについて、

となるaについて、となりに反するので仮定は誤りであって、なる実数bは存在しません(背理法については、証明の技巧を参照)。
また、を満たす実数bが存在すると仮定します。�@より、任意の実数aについて、

となるaについて、となりに反するので仮定は誤りであって、なる実数bは存在しません。
以上より、任意の実数xに対して、かつかつであって、題意より関数がすべての実数において連続であることから、任意の実数aに対して、
(証明終)

(2) 導関数の定義を考えてみます。任意の実数aに対して、として、

， (においては連続)

だからです。
以上より、の導関数は、

　･･･�A

がすべての実数において何回でも微分可能なことから、�A両辺をxで微分すると、

　･･･�B

(1)より、すべての実数xにおいて、だから、�Aより、であって、は単調増加な関数です。
従って、においては、
よって、�Bより、において、
つまり、のグラフはで上に凸になります(関数の凹凸を参照)。
(証明終)

　�Aを使うとを求めることができます

。
，より、

より、
∴

⇔ (∵ )

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