京大理系数学
'08
年
甲
[1]
直線
が関数
のグラフと共有点を持たないために
p
と
q
が満たすべき必要十分条件を求めよ。
解答
対数
の底は
e
(
)
とします。
微分法の方程式への応用
を参照してください。
において、関数
を考えると、
直線
と関数
のグラフが共有点を持たない
⇔
直線
と関数
のグラフが共有点を持たない
ということになります。
(
微分の公式
を参照
)
(i)
のとき、
より、
,つまり、
は
単調増加
です。
,
より、
において
の値は全実数をとります。
従って、
q
がいかなる実数であっても、
となる正数
x
が必ず存在し、直線
と関数
のグラフは共有点を持ち、直線
と関数
のグラフは共有点を持ちます。
(ii)
のとき、
とすると、
,
x
0
×
+
0
−
×
増減表より、
は
において最大値:
を持つ
(
関数の増減
を参照
)
ので、
・
であれば、直線
と関数
のグラフは共有点を持ち、
・
であれば、直線
と関数
のグラフは共有点を持たず、直線
と関数
のグラフも共有点を持ちません。
以上より、求める必要十分条件は、
,かつ、
......[
答
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