京大理系数学
'08
年
甲
[6]
検討
甲
[6]
(
解答は
こちら
)
球面上で
2
点間の経路の長さを比べる問題で、やりにくそうに見えますが、「
空間図形の問題は平面図形に置き直して考える
」ということを一つの定石としてください。この問題では、解答のように、問題文に出てくる
2
円を
A
,
B
で交差するように同一平面上に描いてしまえば、
2
経路の大小は一見して明らかです。
半径の小さい方の円周上の長さの方が大きい、としても、多分、許してもらえると思いますが、解答では実際に長さを比べてあります。
2
円の半径は、片方が
で、もう一方が
1
になります。
と
の長さを求めるために、
を見込む中心角
φ
,
を見込む中心角
θ
を考えます。
φ
は正三角形の頂角になるので
とわかります。
θ
は、余弦定理で求めますが、
としかわかりません。
,
を比べなければいけませんが、
θ
がわからないので、
と
を比べることになります。
において、
は単調減少関数なので、
より、
というストーリーになります。
いわゆる受験技巧が通用しない問題、ということで、理工系の全受験生に考えて頂きたい良問だと思います。
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