京大理系数学'08前期甲[6]検討

[6](解答はこちら) 球面上で2点間の経路の長さを比べる問題で、やりにくそうに見えますが、「空間図形の問題は平面図形に置き直して考える」ということを一つの定石としてください。この問題では、解答のように、問題文に出てくる2円をABで交差するように同一平面上に描いてしまえば、2経路の大小は一見して明らかです。
半径の小さい方の円周上の長さの方が大きい、としても、多分、許してもらえると思いますが、解答では実際に長さを比べてあります。
2円の半径は、片方がで、もう一方が1になります。の長さを求めるために、を見込む中心角jを見込む中心角q を考えます。jは正三角形の頂角になるのでとわかります。q は、余弦定理で求めますが、としかわかりません。

を比べなければいけませんが、q がわからないので、を比べることになります。
において、は単調減少関数なので、より、
というストーリーになります。

いわゆる受験技巧が通用しない問題、ということで、理工系の全受験生に考えて頂きたい良問だと思います。


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