京大理系数学'08年乙[4]

京大理系数学'08年乙[4]

定数aは実数であるとする。関数

と

のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

解答　式変形により甲[4]の問題に帰着します。

　･･･①

　･･･②

①，②を連立すると、

⇔

よって、

　･･･③

⇔

　･･･④　または、

　･･･⑤

2次方程式④の判別式：

　
2次方程式⑤の判別式：

　
2次方程式④は、

，

のときに、相異なる2実数解、

のときに実数の重解をもち、

のときには実数解を持ちません(2次方程式の一般論を参照)。
2次方程式⑤は、aの値にかかわらず、相異なる2実数解を持ちます。

，

の場合に、③，⑤に共通解があるかどうか調べます。
④×3－⑤として、

∴

③，⑤に共通解があるとすれば、これが共通解です。
④に代入すると、

∴

　(

です)

(i)

のとき、

④：

⑤：

よって、③は、

の3実数解を持ちます。

(ii)

のとき、

④：

⑤：

よって、③は、

の3実数解を持ちます。

(i)，(ii)以外のaについては、④，⑤が共通解を持つことはありません。

以上より、①，②のグラフの共有点の個数は、

・

，

のとき、4個

・

のとき、3個

・

のとき、2個 ......[答]

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