京都大学理系
2009
年数学入試問題
甲
[1]
次の各問にそれぞれ答えよ。
問
1
正の数
a
に対して
xyz
空間で
O
,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
G
を頂点とする直方体
OABC-DEFG
を考える。
D
を通り、
3
つの頂点
O
,
E
,
G
を含む平面に垂直な直線が辺
BC(
両端を含む
)
と点
P
で交わるとき、
a
の値と
P
の座標を求めよ。
問
2
白球と赤球の入った袋から
2
個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した
2
球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し、そうでないときは「失敗」とし、取り出した
2
球に赤球を
1
個加えた
3
個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が
2
個、赤球が
1
個袋に入っていたとき、
回まで失敗し
n
回目に成功する確率を求めよ。ただし
とする。
[
解答へ
]
甲
[2]
平面上に三角形
と点
,
,
を、
に対して
と
が辺
に関して対称になるようにとる。
の面積が
の面積の正の整数倍となるとき、
の値を求めよ。
[
解答へ
]
甲
[3]
x
,
y
は
,
をみたす正の数で、不等式
をみたすとする。このとき
x
,
y
の組
の範囲を座標平面上に図示せよ。
[
解答へ
]
甲
[4]
を
をみたす行列
(
a
,
b
,
c
,
d
は実数
)
とし、正の整数
n
に対して
,
により
,
を定める。
ならばすべての
n
に対して
であることを示せ。
[
解答へ
]
甲
[5]
p
を素数、
n
を正の整数とするとき、
は
p
で何回割り切れるか。
[
解答へ
]
甲
[6]
極方程式
(
)
で表される曲線の長さを求めよ。
[
解答へ
]
乙
[1]
xyz
空間で
O
,
A
,
B
,
C
,
D
,
E
,
F
,
G
を頂点とする直方体
OABC-DEFG
を考える。辺
AE
を
s
:
に内分する点を
P
,辺
CG
を
t
:
に内分する点を
Q
とおく。ただし
,
とする。
D
を通り、
O
,
P
,
Q
を含む平面に垂直な直線が線分
AC(
両端を含む
)
と交わるような
s
,
t
のみたす条件を求めよ。
[
解答へ
]
乙
[2]
平面上の鋭角三角形
の内部
(
辺や頂点は含まない
)
に点
P
をとり、
を
B
,
C
,
P
を通る円の中心、
を
C
,
A
,
P
を通る円の中心、
を
A
,
B
,
P
を通る円の中心とする。このとき
A
,
B
,
C
,
,
,
が同一円周上にあるための必要十分条件は
P
が
の内心に一致することであることを示せ。
[
解答へ
]
乙
[3]
n
枚のカードを積んだヤマがあり、各カードには上から順番に
1
から
n
までの番号がつけられている。ただし
とする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。
1
回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上にもどすか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う。これら
n
通りの操作はすべて同じ確率であるとする。
n
回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード
(
番号
n
)
が山の一番上にきている確率を求めよ。
[
解答へ
]
乙
[4]
を
をみたす行列とする
(
a
,
b
,
c
,
d
は実数
)
。自然数
n
に対して平面上の点
を
により定める。
と
の長さが
1
のとき、すべての
n
に対して
の長さが
1
であることを示せ。ここで
O
は原点である。
[
解答へ
]
乙
[5]
xy
平面上で原点を極、
x
軸の正の部分を始線とする極座標に関して、極方程式
(
)
により表される曲線を
C
とする。
C
と
x
軸とで囲まれた図形を
x
軸のまわりに
1
回転して得られる立体の体積を求めよ。
[
解答へ
]
乙
[6]
a
と
b
を互いに素、すなわち
1
以外の公約数を持たない正の整数とし、さらに
a
は奇数とする。正の整数
n
に対して整数
,
を
をみたすように定めるとき、次の
(1)
,
(2)
を示せ。ただし
が無理数であることは証明なしに用いてよい。
(1)
は奇数であり、
と
は互いに素である。
(2)
すべての
n
に対して、
は奇数であり、
と
は互いに素である。
[
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