京大理系数学'09[1]

次の各問にそれぞれ答えよ。
1 正の数aに対してxyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。Dを通り、3つの頂点OEGを含む平面に垂直な直線が辺BC(両端を含む)と点Pで交わるとき、aの値とPの座標を求めよ。
2 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した2球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し、そうでないときは「失敗」とし、取り出した2球に赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が2個、赤球が1個袋に入っていたとき、回まで失敗しn回目に成功する確率を求めよ。ただしとする。

解答 まずはウォーミングアップの空間ベクトルと確率の基本問題です。

1 
より、直線BCベクトル方程式
 ・・・@
よって、線分BC上の点Pの座標を ()とおくことができます。
題意より、直線
DPは、3つの頂点OEGを含む平面に垂直なので、かつです。

 ・・・A (内積を参照)
 ・・・B
Bより、 ()
Aより、
@より、
よって、
Pの座標 ......[]

2 1回目、3個の球から2個の球を取り出す方法が通り。2個の球がいずれも白球である(つまり「成功」する)のはそのうち1通りで、その確率,失敗する確率は
2回目、4個の球から2個の球を取り出す方法が通り。2個の球がいずれも白球である(「成功」)のはそのうち1通りで、その確率は,失敗する確率は
1回目に失敗して2回目に成功する確率は
のとき、回目まで失敗が続くと、赤球の個数は個になり、赤球、白球合わせて個の球があります。
n回目は個の球から2個の球を取り出す方法が通り。2個の球がいずれも白球(「成功」)であるのはそのうち1通りで、その確率は、
失敗する確率は、
以上より、回まで失敗しn回目に成功する確率は、
......[]


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