京大理系数学'09[5]

pを素数、nを正の整数とするとき、pで何回割り切れるか。

解答 例えばとして考えてみます。
には
31つ含まれているので、1回割り切れます。
の中の
3の倍数は369で、素因数分解したとき、36には31つ含まれ、9には32個含まれるので、を素因数分解すると3の指数は4になり、4回割り切れます。
の中の
3の倍数は369121518212427で、このうち、3612152124の中には31つ含まれ、素因数分解したとき、918の中には32個含まれ、27の中には33個含まれるので、を素因数分解すると3の指数はとなり、13回割り切れます。
つまり、の場合、
1からまでの数の中にpの倍数、の倍数、の倍数が何個あるかを調べて行くことになります。
のときの検討を見ると、の倍数をの倍数に含め、の倍数を
pの倍数に含めて、1から27の中に、3の倍数が個,の倍数が個,の倍数が1個あるので、として、313回割り切れる、というように考えられることがわかります。従って、本問では、以下のように解答できるでしょう。
1からの中に、 ()の倍数は、個あります。
を素因数分解したときの
pの指数は,・・・, ()の和になるので、pで割り切れる回数は、
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