京大理系数学'09年甲[6]検討

[6](解答はこちら) 曲線の長さの定積分は、2009年の時点においては、高校の範囲外ですが、京大の場合には予告されていたので、準備していた受験生が多かっただろうと思います。「平面の方程式」とは違い、曲線の長さは公式二つ(陽関数表示の場合と媒介変数表示の場合)を覚えるだけのことで、これを高校の範囲から削除したところで、受験生の負担が軽くなるわけではありません。特に、物理系・電子系の学部を目指す受験生は、大学に進んで物理を学ぶときに、線素、面素などに面食らわないように早いうちから曲線の長さを知っておくことには意味があります。
この問題は、甲問題ということもあって親切に半周分の長さを聞いてくれているので、積分計算に引っかかるところはありませんが、仮に一周分
()の長さを聞いている場合、うかつに、
と計算してしまうと、おかしなことになるので注意してください。という原則に従って被積分関数に絶対値記号をつけ、積分区間を分けて絶対値記号を外し、


と計算しなくてはいけません。
また、本問のように、極方程式:で表される曲線の長さについては、媒介変数表示が、

と与えられるので、
より、

 ・・・()
となります。これをあらかじめ答案上で導出しておいて、ここで、
として、
とする方が計算がラクにすみます。頻出というわけではないので、()を覚えてもあまりメリットはありません。のままで計算してあとで代入する方がよいと思っていれば充分です。


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