京大理系数学'09前期乙[2]

平面上の鋭角三角形の内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、BCPを通る円の中心、CAPを通る円の中心、ABPを通る円の中心とする。このときABCが同一円周上にあるための必要十分条件はPの内心に一致することであることを示せ。

解答 十分性:「Pの内心」⇒「ABCが同一円周上」
の方はすぐですが、
必要性:「
ABCが同一円周上」⇒「Pの内心」
がなかなか厄介です。
必要性を示すときに、
Pが内心であることや、APが一直線上にあることを前提としないように注意しましょう。の二等分線であることは簡単に言えますが、P上には存在しないという仮定(誤りですが)に立って論証するようにします。
また、点
Pのまわりで角を考えると、などとうまく結びつかずに考えにくくなります。BCPを通る円の中心とする、ということは、は三角形BCPの外心だと言うことです。外心は各辺の垂直二等分線の交点なので、この垂直二等分線との間にできる角を考えるようにします。

ABCが同一円周上にあるとします(この円をDとします)
三角形
ABCの内部の点Pに対して、
BCPを通る円の中心は、PBの垂直二等分線とPCの垂直二等分線の交点です。
CAPを通る円の中心は、PCの垂直二等分線とPAの垂直二等分線の交点です。
ABPを通る円の中心は、PAの垂直二等分線とPBの垂直二等分線の交点です。
Dについて、上に立つ円周角は等しいので、
また、三角形と三角形は合同なので、
つまり、
また、
ABPを通る円について、PBの上に立つ中心角は円周角2倍です。
つまり、
 ・・・@
Dについて、上に立つ円周角は等しいので、
また、三角形と三角形は合同なので、
つまり、
また、
CAPを通る円について、PCの上に立つ中心角は円周角2倍です。
つまり、
 ・・・A
また、三角形は、である二等辺三角形なので、
これと、@,Aより、
同様にして、
よって、点
Pは三角形ABCの内心です。

Pの内心だとします。
です。
また、を中心とし、
BCPを通る円について、PBの上に立つ中心角は円周角2倍です。
同様に、
PCの上に立つ中心角は円周角2倍です。
三角形の内角の和は
pなので、
よって、対向する頂角が互いに補角をなすので、四角形は円に内接する四角形です。
同様にして、四角形,四角形も円に内接する四角形です。

3つの四角形の外接円は、いずれも三角形ABCの外接円であって同一の円です。
従って、
ABCは同一円周上にあります。
以上より、
ABCが同一円周上にあるための必要十分条件は、「Pの内心に一致すること」です。


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