京大理系数学'09[6]検討

[6](解答はこちら) 京大では頻出の、漸化式をからめた整数問題ですが、この問題は、京大の問題としても難問です。雑誌「大学への数学」に掲載されている受験報告では、(2)を完答できた受験生はゼロで、本ウェブサイトの解答の中で途中で行き詰まるポイントがあると書いたように、の連立漸化式からが奇数であることのみ証明し、が互いに素になることの証明を断念してしまった受験生がほとんどのようです。
本ウェブサイトでは、連立漸化式だけでは条件不足になるので、数学的帰納法の枠組みを変え、前
2つを仮定して次を証明する形にして、条件不足を補うように工夫しました。この証明に合わせて3項間漸化式を作りましたが、3項間漸化式を作るのに技巧が必要なので、連立漸化式を2段組み合わせて、からへ、からへ、というようにして条件を2つ作る考え方も可能です。また、「大学への数学」の解では、



を利用し、
(1)abと見ることにより、が互いに素となることを帰納法で示し、連立漸化式を1段使うだけで証明する方法が紹介されています。参考にしてください。個人的には、この問題を解くのに合理的な考え方であっても、一般的に広く使えるようには思えないので、3項間漸化式を用いて証明する方法を取りたいと思います。もちろん、ケース・バイ・ケースで最善の方法を考える、というのも大切なことですが。
本問では、ほとんどの受験生が途中挫折してしまっているようなので、試験会場では、本問
(2)が奇数になることの証明のみでやめておくのが賢明な選択なのかも知れませんが、東大'09年前期[6]とは違って、絶対に無理、という問題ではないので、時間的余裕があるのであれば、取り組んで頂きたいと思います。


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