京大理系数学'10[2]

四面体ABCDにおいてはそれぞれ垂直であるとする。このとき、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ。

解答 空間ベクトルの問題ですが、無理に1次独立な3つのベクトルを持ち出さずとも、内積計算で平凡に解決します。

題意より、

 ・・・@ (内積を参照)
目標は、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面を作る1次独立なベクトルと、が垂直であることを示すことです。
 ・・・A
 ・・・B
@より、
 ・・・C
 ・・・D
 ・・・E
C,D,Eより、
Aより、

同様に、@より、
 ・・・F
 ・・・G
 ・・・H
F,G,Hより、
Bより、

よって、頂点A,頂点Bおよび辺CDの中点M3点を通る平面は辺CDと直交します。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
inserted by FC2 system