において、では，では，よって、はで極大かつ最大で、最大値はとなります。
微分による解法の場合、微分の計算が煩雑になることが多く、導関数が必ずしも見やすい形にならないこともありますが、時間をかければ必ず解答できるという安心感があります。ですが、面倒な微分の計算をし終わってから、別のラクな解法に気づいても手遅れです。
本問では、解答のように相加平均・相乗平均の関係を利用するという技巧を用いることにより、煩雑な計算なしで最終解答が得られます。
但し、相加平均・相乗平均の関係では、等号成立条件が必ず成立するというわけではありません。
例えば、の最小値を求める問題で、という条件がつくと、の等号成立条件，つまり、が成立せず、最小値を求めることができません。
ですが、技巧がうまく使えない、ということに気づくのに大した時間はかからないでしょう。
従って、こうした最大最小問題では、最初から微分して後でラクな解法に気づいて後悔する、ということにならないように、まず、微分を使わない解法を試し、うまく行かなかったら、微分する、という方針で行くべきです。
ちなみに、本問では、

判別式：

より、
として、最大値

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