京大理系数学'10[5]

aを正の実数とする。座標平面において曲線 ()x軸とで囲まれた図形の面積をSとし、曲線 (),曲線 ()およびx軸で囲まれた図形の面積をTとする。このときST = 31となるようなaの値を求めよ。

解答 積分による面積計算と三角関数の融合問題です。

曲線
()x軸とで囲まれた図形(右図黄色着色部)面積Sは、
 ・・・@ (不定積分の公式を参照)
曲線と曲線の共有点は、
を連立すると、

は解にならないので、においては、で割ると、
これを満たすxの範囲にただ1つ存在するので、それをaとすると、
このとき、
 (三角比の拡張を参照)
()
() ・・・A
また、において、は単調減少、は単調増加なので、ではでは
これに注意して、曲線
(),曲線 ()およびx軸で囲まれた図形(右図斜線部)の面積Tは、

aの値が問われているので、Aを利用してaを使って表します。
ST = 31と@より、

 ・・・B
 ・・・C
のもとでBを2乗すると、

......[] (Cを満たしています)


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