京大理系数学'10年乙[4]検討

京大理系数学'10年乙[4]検討
乙[4](解答はこちら)　解答では、正弦定理と余弦定理を用いましたが、余弦定理を使わなくても解答できます。
bの値を求めるだけなら大した問題ではないのですが、この問題のポイントは、三角形が鋭角三角形であることをどうやってチェックするか、というところにあります。解答のように、長さa，b，

の辺と向かい合っている角をA，B，Cとすれば、正弦定理を用いて、

，

であることがわかります。これで、

となります。また、

から

，つまり、

もわかります。
これで

となるので、

，あるいは、

を確認できればよいわけです。解答では、bの2次方程式が

の範囲に解をもつ条件を調べました。ですが、以下のようにする加法定理を用いる解法も考えられます。

とおくと、

より、

において

は減少関数で、

，つまり、

が確認できて、

が求める解だということがわかります。
易しそうな問題に見えても、答案の論理をしっかり見ようという京大数学の方針を、本問で感じ取るようにしてください。

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