多数の項の積になる確率の対数の極限が、区分求積法によって定積分になる、という流れは、定型パターンの問題と言えると思います。本問を見ておけば、今後、類題に当たっても対処できるでしょう。
ですが、確率の考え方自体は、定型的に思わない方がよいと思います。というのは、本問のような問題で、個の箱に

個のボールを入れる場合の数が、通りになって、通りにならないのか、わからない、

の違いがわからない、という、疑問を抱く方がいるからです。この場合は通りで、別の場合では通り、というように、パターン化して扱おう、と、発想せずに、問題ごとに考えるようにして頂きたいと思います。
くらいで具体的に見てみましょう。本問の場合、

個について、等しい確率で

ボールが1個ずつ3個の箱に入るとき、6個の箱からボールの入る3個の箱の選び方が通り、
ボール2個が1個の箱に入りボール1個が別の1個の箱に入るのは、6個の箱からボール2個の入る1個の箱の選び方が6通り、その各1通りについて、ボール1個の入る箱の選び方が5通りで、通り、
ボール3個が1個の箱に入るとき、6個の箱からボール3個の入る1個の箱の選び方が6通り、
求める確率は、　･･･�@

通りで、通り、とすれば、この各

個のどれかに入るので、通り、
求める確率は、，つまり、
となります。
ですが、もし、

個のボールの入れ方通りの各

通りが同様に確からしい、という設定の問題であれば、答えはになります。
つまり、何を同様に確からしいと考えるか、ということによって、通りか、通りか、ということは違ってきます。重要なことは、事象

の起こる確率：において、分母と分子すべてにわたって、何を同様に確からしいとしているか、という考え方が揃っている、ということです。

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