京大理系数学'11[5]

xyz空間で、原点Oを中心とする半径の球面S3を通る平面αが共有点をもつことを示し、点がその共有点全体の集合を動くとき、積xyzがとり得る値の範囲を求めよ。

解答 前半は、平面の方程式の知識が無くても解答できるように工夫されています。後半は、lmn3文字の対称式が登場しますが、3次方程式を考えることにより解決できます。なお、微分法の方程式への応用を参照してください。

3を通る平面α上の点Pの位置ベクトルをとすると、lmnを実数として、
 (平面のベクトル方程式を参照)
と表せるので、
原点Oと点Pとの距離2乗は、
コーシー・シュワルツの不等式より、として、 (不等号の等号は、kを実数として、のとき成立),よって、
 (不等号の等号は、,即ち、よりのとき成立)
より、

 (不等号の等号は、のとき成立)
より、平面α上の点で原点Oとの距離が、球面Sの半径よりも小さい点が存在するので、平面αと球面Sとは共有点を持ちます。
平面
αと球面Sの共有点においては、原点Oとの距離がになるので、

より、
lmn3解とする3次方程式
は、重解も含めて3個の実数解をもちます。
とおくと、


x


00

増減表より(3次関数の最大・最小を参照)3次方程式:が重解も含めて3個の実数解をもつのは、
のときで、のとりうる値の範囲は、
......[]
注.になるのは、になるときで、lmnのうち2つが,残る1つがのときです。になるのは、になるときで、lmnのうち2つが,残る1つがになるときです。

別解.京大では、平面の方程式も試験範囲に含まれるので、平面αの方程式を、3を通ることから、
とおき、原点と平面αとの距離dが、
であることから、球面Sと平面αが共有点をもつ、とすることもできます。


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