京大理系数学'12年[4]
(1) 
が無理数であることを証明せよ。 (2) 
は有理数を係数とするxの多項式で、
を満たしているとする。このとき
は
で割り切れることを証明せよ。
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解答 (1)，(2)とも背理法を使って証明します。なお、整数を参照してください。
(1) m，nを互いに素な自然数として、
とおけると仮定します。 3乗して分母を払うと、
これより、nは2の倍数で、kを自然数として、
とおけます。よって、 
∴ 
これより、mは2の倍数となりますが、m，nがともに2の倍数となり、互いに素であることと矛盾します。よって、仮定は誤りで、
は無理数です。 (証明終)
(2) 
とおくと、
を
で割ったときの商を
，余りを
とおきます。
は有理数を係数とするxの多項式なので、
も有理数を係数とする多項式であり、a，b，cは有理数です。
とすると、αをかけて、
より、
･･･①
･･･②①×b－②×aより、
･･･③
と仮定すると、この右辺は有理数なので、αが有理数となって、矛盾が生じます。よって、
③より、
∴ 
だとすると、
，
となり、
が有理数となって矛盾します。よって、
，従って①も考慮して、
です。よって、
を
で割った余りは0で、
は
で割り切れます。 (証明終)
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