京大理系数学'12[5]

次の命題(p)(q)のそれぞれについて、正しいかどうか答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。
(p) n角形の頂点から3点を選んで内角の1つがである三角形を作ることができるならば、n3の倍数である。
(q) ABCと△ABDにおいて、かつならば、である。

解答 受験生にとっては真剣勝負の入学試験で、遊び心のある問題だなどと言ったら不謹慎かも知れませんが、どうか入学試験を楽しんでいってください、とでも言いたそうな出題者の優しい笑顔が見える気がします。無理に正解しよう、うまく切り抜けようと思わないで、いろいろといじって遊んでみることが、むしろ正解につながります。
なお、
証明の技巧を参照してください。

(p) 正三角形の内角はなので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
正方形では、対角線で2個の直角二等辺三角形に分かれるだけなので、内角の1つがである三角形はできません。
正五角形では、隣接
3頂点で三角形を作ると、内角は、です。隣接2頂点と1つ離れた頂点とで三角形を作ると、内角は、です。内角の1つがである三角形はできません。
正六角形では、
1つおきの3頂点で三角形を作ると正三角形なので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
正七角形、正八角形では、内角の
1つがである三角形はできません。
正九角形では、
2つおきの3頂点で三角形を作ると正三角形なので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
これで、どうやら命題
(p)は正しそうだ、と、わかってきます。
角形では、ある頂点から個の頂点をおいて次の頂点を選び、そこから個の頂点をおいて次の頂点を選んで三角形を作れば
(この3頂点で正角形の外接円の円周を3つの等しい円弧に分割できます)正三角形になるので、内角の1つがである三角形を作ることができます。
逆に、正
n角形のn個の頂点から3点を選んで三角形を作るとき、内角の1つがになるということは、この内角を見込む外接円の円弧は円周のになる、ということです。
n3の倍数でないとき、正n角形の隣接2頂点を頂点とする円弧のうちの小さい方の弧の長さは円周のです。kを自然数として、とするとn3の倍数となって矛盾するので、円周のk個集めても円周のになることはありません。つまり、正n角形のどの2頂点を選んでも、この2頂点を両端とする円弧は円周のにはなり得ないので、内角の1つがである正三角形はできません。
よって、命題
(p)の正しいことが証明されました。

(q) ABCと△ABDとで共有する辺ABを弦にもつ円を考えると、は、弦ABの上に立つ円周角として考えることができます。円の半径が大きくなると弦ABの上に立つ円周角は小さくなります。
これより、半径の異なる2を考え、の半径がの半径よりも大きいとします。また、2円は異なる2ABで交わるものとします。
であるのに、かつであるような
2CDが見つかれば、題意は否定されます。
なので、
C上、D上に来るような状況を考えます。
右図のように、
Dとなるようにとり、ADを半径とする円を描きます。Bは円の内側に来ます。ここで、Bを中心として、BDを半径とする円を描きます。Bは円の内側に来ます。
Bを通るので、円上の点で、円の内側にあって、かつ、円の内側にある点が存在します。この点をCとすれば、”かつ”を満たします。ですが、C上の点、D上の点なのでです。
よって命題
(q)は正しくありません。


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