京都大学理系2013年数学入試問題

[1]
 平行四辺形ABCDにおいて、辺AB11に内分する点をE,辺BC21に内分する点をF,辺CD31に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比APPQを求めよ。
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[2] N2以上の自然数とし、 ()を次の性質(i)(ii)をみたす数列とする。
(i)
(ii) に対して、
が偶数のときが奇数のとき
このときどのような自然数Mに対しても
が成り立つことを示せ。
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[3] nを自然数とし、整式を整式で割った余りをとする。このときabは整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
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[4] におけるの最大値を求めよ。ただしおよびが成り立つことは証明なしに用いてよい。
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[5] xy平面内で、y軸上の点Pを中心とする円C2つの曲線
, 
とそれぞれ点A,点Bで接しているとする。さらに△PABABy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。このとき3つの曲線Cで囲まれた部分の面積を求めよ。
ただし、
2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。
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[6] 投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標1の点に関して対称な点に石を移動する。
(1) 石が座標xの点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標xの点にある確率を求めよ。
(2) 石が原点にあるとする。nを自然数とし、回硬貨を投げたとき、石が座標の点にある確率を求めよ。
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