京大理系数学'13年[1]
平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1：1に内分する点をE，辺BCを2：1に内分する点をF，辺CDを3：1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比AP：PQを求めよ。
解答 いくら易化傾向とは言っても、これでは標準的な高校入試問題です。高校3年間は何だったのか、と受験生に思われかねません。ベクトルを持ち出すまでもありませんね。
簡単にするために、
とします。
直線GFと直線ABの交点をRとすると、
，
より、△CGF∽△BRF
∴ CG：BR＝FC：FB＝1：2
より、
，
，
より、△CGP∽△ERP
∴ PC：PE＝CG：ER＝
：
＝3：8
Pを通り、BCに平行な直線と直線ABとの交点をSとすると、
ES：SB＝PE：PC＝8：3
∴ 
，
∴ AP：PQ＝AS：SB＝
：
＝19：3 ......[答]
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