京大理系数学'13年[2]
Nを2以上の自然数とし、
(
)を次の性質(i)，(ii)をみたす数列とする。
(i) 
， (ii) 
に対して、 このときどのような自然数Mに対しても
が成り立つことを示せ。
解答 こうしたイメージのつかみにくい問題では、n，Nに文字を入れて具体的に調べるようにしましょう。本問は、カラクリがつかめてしまえば、大したことはありません。
のとき、
，
，以後、
に対して
です。
のとき、
，
，
，
，以後、
に対して
です。
のとき、
，
，
，
，
，以後、
に対して
です。
のとき、
，
，
，
，
，
，以後、
に対して
です。
のとき、
，
，
，
，
，
，
，以後、
に対して
です。
これくらい調べれば、数列
のカラクリがつかめます。
各Nに対して、数列
は、はじめの方が異なるだけで、最後の方は同じになります。特に奇数・偶数の並び方は、
であれば、
だけが偶数で、それ以外は奇数です。
そこで、まず、各Nに対して、数列
をnを用いて表してみます。最初に
となるnは、上記から
の場合を除いて、
のときです。
各Nに対して、各項は、最初の方が自然数で、途中から0になるので、
が最大になるのは、
のときです。
答案は以下のようになるでしょう。
のとき、
は奇数なので、
，以後、
に対して
どのような自然数Mに対しても
より与不等式は成立する。
のとき、
は奇数なので、
，
は偶数なので、
以後、
について、
と仮定すると、
となるのは、
，つまり、
のときで、このとき、
は奇数なので、
従って、帰納的に、
を満たすnについて、
(
) (数学的帰納法を参照)
特に、
，よって、
を満たすnについて、
注．つまり、数列
は、最初の2項が、
，
となり、
以降は、
，･･･，31 (
)，15 (
)，7 (
)，3 (
)，1 (
)，0，0，･･･ となっているわけです。
以上より、
のとき、どのような自然数Mに対しても、
よって、Nを2以上の自然数とするとき、どのような自然数Mに対しても、
が成り立つ。
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が偶数のとき
，
が奇数のとき
，
とおいた
