京大理系数学'13年[4]
における
の最大値を求めよ。ただし
および
が成り立つことは証明なしに用いてよい。
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解答 数値の評価があるとはいえ、平凡な微分の問題です。
とすると、
，
においては、
これで、以下の増減表が得られます(関数の増減を参照)。
，
なので、
，
です。
従って、
より、方程式
は
の範囲にただ一つの解α (
)をもちます。また、
より、方程式
は
の範囲にただ一つの解β (
，実は
です)をもちます。
結局、方程式
は、
の範囲に、3つの解、α，0，βをもちます。
，
と1を比較すると、
よって、求める最大値は
......[答]
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