京都大学理系2020年数学入試問題

京都大学理系2020年数学入試問題
[1]　a，bは実数で、

とする。zに関する方程式

･･･(＊)

は3つの相異なる解を持ち、それらは複素数平面上で、一辺の長さが

の正三角形の頂点となっているとする。このとき、a，bと(＊)の3つの解を求めよ。
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[2]　pを正の整数とする。α，βはxに関する方程式

の2つの解で、

であるとする。

(1) すべての正の整数nに対し、

は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。

(2) 極限

を求めよ。

[3]　kを正の実数とする。座標空間において、原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A，B，C，Dが次の関係式を満たしている。

，

．

このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点X，Yに対して、

は、

と

の内積を表す。
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[4]　正の整数aに対して、

(b，cは整数でcは3で割り切れない)

の形に書いたとき、

と定める。例えば、

である。

m，nは整数で、次の条件を満たすとする。

(i)

(ii)

(iii) nは3で割り切れない。
このような

について

とするとき、

の最大値を求めよ。また、

の最大値を与えるような

をすべて求めよ。
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[5]　縦4個、横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。

[6]　x，y，zを座標とする空間において、xz平面内の曲線

(

)

をz軸のまわりに1回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をSとする。このSをさらにx軸のまわりに1回転させるとき、Sが通過した部分よりなる立体をVとする。このとき、Vの体積を求めよ。
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