京大理系数学'20年前期[5]
縦4個、横4個のマス目のそれぞれに1，2，3，4の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。
解答 対称性を考慮して場合の数を数えます。
(i) まず、1行目の4文字の入れ方は、異なる4個のものの順列となり、
通り。 ･･･①
1，2，3，4の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この24通りの各1通りについて、2行目以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。そこで、24通りのうちの1通り、1行目に例えば、1，2，3，4と入れた場合を考えます。
(ii) 2行目は、1列目には1を入れることができないので、1を入れる位置は、2列目、3列目、4列目の3通りあります。 ･･･②
2，3，4の数字を入れ替えて考えるときの対称性より、この3通りの各1通りについて、1を入れた以降の数字の入れ方は、同数ずつあります。
そこで、2行目の2列目に1を入れた場合を考えます。
2行目に2を入れる位置は、1列目、3列目、4列目の3通りありますが、この3通りについては、1行目の1の下の1列目と、1行目の3と4の下の3列目と4列目とでは、違いがあります。1はすでに2行目2列目に入っていますが、3と4はまだ2行目に入っていないからです。そこで、2行目に2を入れる位置について、1列目に入れる場合と、3列目4列目に入れる場合とで別に考えます。
(iii) まず、1行目の1の下の2行目1列目に2を入れると、1行目の4の下の2行目4列目には4を入れることができないので、2行目は下図のように、ただ1通りに確定します。
3
行目の入れ方は、1と2，3と4の入れ替えにより、次の4通りに限られ、それに応じて、4行目も確定します。 ･･･③(iv) 1行目の3，4の下、2行目の3列目に2を入れる場合と、4列目に2を入れる場合とは、3と4を入れ替えて考えるときの対称性より、同数ずつあります。そこで、2を3列目に入れた場合を考えます。1行目の4の下にの2行目4列目には4は入らないので、2行目はただ1通りに確定し、これ以降、3行目に、1が3列目に入るか4列目に入るかによって以下の2通りあります。 ･･･④
通りあります。
通りあります。
通り