ロピタルの定理

として、区間において連続でかつ、において微分可能な関数について、(において)であるとき、が存在すれば、

[証明] なる任意のxについて、は、において連続でかつ、において微分可能で、より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、とコーシーの平均値の定理より、を満たすcが存在します。
ここで、
とすると、
 ・・・@
また、
なる任意のxについて、は、において連続でかつ、において微分可能で、より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、とコーシーの平均値の定理より、を満たすcが存在します。
ここで、
とすると、
 ・・・A
が存在すれば、
よって、@,Aより、 (証明終)

上記と同様にして、の場合についても、同様のことが言えます。については以下のようになります(も同様です)
区間
において連続かつ、において微分可能な関数について、であるとき、が存在すれば、
[
証明] なる任意のxpについて、は、において連続でかつ、において微分可能で、より、コーシーの平均値の定理の要件を満たします。よって、コーシーの平均値の定理より、を満たすcが存在します。
ここで、
としてから、とすれば、であって、より、
 (証明終)

また、において、となってしまう場合には、が成り立つ範囲において、とし、とすれば、となって、ロピタルの定理を使うことができます。
ロピタルの定理は
不定形の極限を求める場合に使います。

例.
は、とみると、ロピタルの定理の要件を満たすので、
,ロピタルの定理より、

 
として求めることができます。

大学入試において、ロピタルの定理は、解答のみ要求されている場合には便利ですが、高校の教科書に載っていないので、論述式の答案に使ってもよいのかという心配があります。
このときには、以下のようにして、「ロピタルの定理より」という書き方を避ける手があります。
上記の
というような不定形の極限の例の場合、として、となるので、

 
 
として、

とすればOKです。
型の不定形で極限がうまく求められないときは、この手が使えます。

上記の例では、ロピタルの定理を使わないのであれば、不等式
 ()
 ()
を証明してはさみうちにするしかありません。


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