関数の極限

関数において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、の値が限りなくaに近づくとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、a極限値と言います。
関数
において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、の値が限りなく大きくなるとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、正の無限大に発散する、と言います。
関数
において、xaと異なる値をとりながらaに限りなく近づくときに、が負の値をとりながら、限りなく絶対値が大きくなるとします。
このとき、
のとき、
または、

と書いて、負の無限大に発散する、と言います。
xが限りなく大きくなるときには、上記のaを正の無限大∞とします。
xが負の値をとりながら、その絶対値が限りなく大きくなるときには、上記のaを負の無限大とします。
以上のいずれの場合についても、
を極限と言います。

関数
において、xを満たしながらaに限りなく近づくときの極限を、と書いて、右側極限、または、右方極限と言います。
というのは、h0に近づけるという意味です。
関数
において、xを満たしながらaに限りなく近づくときの極限を、と書いて、左側極限、または、左方極限と言います。
というのは、h0に近づけるという意味です。

 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
です。つまり、右側極限と左側極限が等しい場合にのみ、極限と言います。
右側極限と左側極限が一致しない場合には、極限とは言いません。

,または、とするときに、の値が1つの値に近づかないこともあります。このようなときには、は振動すると言い、極限は存在しません。

極限の性質
のとき、khを実数として、
(線形性) 

 (但し、)
の近傍でであれば、
また、のとき、khを実数として、
(線形性) 

 (但し、)
ある実数aについて、のときであれば、
(
のときも同様)

1abを実数として、について、
のとき、です。のグラフは右肩上がりの直線です。
のとき、です。のグラフは右肩下がりの直線です。

2abcを実数として、について、
のとき、です。グラフは下に凸な放物線です。
のとき、です。グラフは上に凸な放物線です。

3.一般的に、nが奇数,,・・・,を実数として、について、
です。
nが偶数,,・・・,を実数として、について、
です。

4,または、のとき、は振動するので、は存在しません。

5ですが、です。よって、は存在しません。

6のとき、
のとき、

7のとき、
のとき、

8です。よって、は存在しません。
ですが、
です。

9

従って、なら、ですが、
なら、は存在しません。

10 (nは自然数,,・・・,:実数)



 (かつ)
のような関数では、任意の実数aについて、が成立します(関数の連続を参照)
 (かつ)
の定義域はなので、任意の正数aについて、が成立します。
 (pは実数)
の定義域はなので、となる実数aについて、が成立します。


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