等比数列の極限

等比数列の極限　　　関連問題

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この項目については、数列の極限を参照してください。
・

のとき、

・

のとき、

・

のとき、

・

のとき、

は存在せず、発散する(振動)。

[証明]・

のとき、

(

)とおくと、二項定理より、

のとき、

より、

∴

・

のとき、

は自明。
・

のとき、

より、

∴

・

のとき、

は自明。
・

のとき、

より、

∴

・

のとき、

であって、

の符号はnが偶数のときに正、nが奇数のときに負、となり、nを大きくしていくときに符号が正負交互に入れ替わるので、数列

は振動し、

は存在せず、発散する。

例1．

のとき、(1)

　(2)

(1)

　(分母、分子を

で割る。

，

に着目)
　

(2)

　(分母、分子を

で割る。

だが、

は振動する)
極限は存在しない。

例2．

・

のとき、分母分子を

で割ると、

とすると、

，

より、
　

・

のとき、

・

のとき、

とすると、

，

より、
　

・

のとき、
　nが奇数ならば、

　nが偶数ならば、

　より、

のとき振動するので、Lは存在しない。

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