空間における2直線の位置関係

この項目については、空間ベクトルを参照してください。
空間における
2直線の位置関係は、右図のような
(i) 交わる (ii) 平行 (iii) ねじれの位置
3通り。

(i) 空間における2直線
l ・・・@
m ・・・A
は、@式、A式の
xyzを等しいとおくと、
 ・・・B
 ・・・C
 ・・・D
BとCから、

Bより、
となるのですが、は、Dを満たします。
のとき、@では、
のとき、Aでも、
となります。
ということは、直線
lmともに、点を通るということであって、2直線lmは、点において交わるということを意味します。

空間における平行でない
2直線は、必ずしも交点を持ちません。
を直線lm上を動く点の位置ベクトル、を直線lm上の1定点の位置ベクトル、を直線lmの方向ベクトル、tsを実数だとして、2直線lmのベクトル方程式が、
l
m

と表せたとします。
2直線lmが交点を持つとき、になったとします。このとき、
 ・・・E
が成り立ちます。
ここで、
mと同じ方向ベクトルの直線があったとして、直線が直線lと交点を持つとき、になったとします。このとき、
 ・・・F
が成り立ちます。F−Eより、

 ・・・G
G式の右辺は平面のベクトル方程式の形をしていて、G式は、
で張られるある平面上の点の位置ベクトルであることを意味しています。
従って、
がこの平面上に存在しないときには、直線lと直線は交点を持たないのです。このときには、F式を満たすが存在しません(後述)
また、空間内で交わる
2直線lmは、ともに、というベクトル方程式の平面上に存在します(平面のベクトル方程式を参照)

(ii) 空間における2直線が平行であってかつ、同一の直線でない場合、この2直線は交点を持ちません。

(iii) 空間における2直線
l ・・・@
m ・・・A
は、@式、A式の
xyzを等しいとおくと、
 ・・・B
 ・・・C
 ・・・D
BとCから、

Bより、
ですが、はD式を満たしません。
とまり、直線
l上の点と直線m上の点が同一の点になることはあり得ないのです。これは、この2直線が交点を持たないことを意味します。このような2直線の位置関係を「ねじれの位置」と言います。
l上の点m上の点との距離dを考えてみます。

 
右辺を展開して整理すると、

これをtに関する2次式と見て平方完成すると、

さらに、残りの部分をsについても平方完成すると、

ですから、となります。ですから、2直線lm上の点はもっとも近い点同志の距離がであって、ここからも2直線が交わらないことがわかります。
となるのは、,つまり、のときです。
このとき、@より、

Aより、
l
上の点とm上の点との距離の最小値を与える2点は、l上のPm上のQです。
ここで、この
2点を結ぶベクトルは、lmの方向ベクトルに対して、
つまり、は、直線l,直線mの双方と垂直です。

2直線lm距離と言うことがあります。
また、
2直線lmの方向ベクトルのなす角を、2直線lmのなす角と言うことがあります。


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