ベクトルの1次独立

この項目については、ベクトルとはを参照してください。
(1) 2つのベクトルが平行、つまり、 //  ⇔  (k:実数)
(2) 2
つのベクトルについて、 (k:実数) かつ  かつ であるとき、1次独立であると言う。
(3) 平面上の2つのベクトル1次独立であるとき、この平面上の任意のベクトルは、 (stは実数)の形に表すことができる。また、実数stの組はただ1通りに定まる。
(4) ベクトルは、長さが等しく向きが同じであれば同じベクトルと考えるが、始点をそろえて考える方が扱いやすい場合がある。始点を座標平面の原点Oにとって、ベクトルを考えるとき、を点P位置ベクトルと言い、のように表す。

2つのベクトル1次独立でないとき( //  または  または )1次従属であると言います。

2つのベクトルが平行なら、長さが違うか、向きが正反対の向きで長さが違うか、なので、一方のベクトルは他方のベクトルの実数倍で表されます。

2つのベクトル1次独立であることを、 ⇔ であること、定義することもあります。
2
つのベクトル1次独立であるとき、を始点をそろえて書くと右図のように三角形ができます。平面ベクトルにおいては、「1次独立」の意味を、三角形を作ることのできる位置関係と覚えておくとよいでしょう。

(3)を示しておきます。
平面上の
2つのベクトル1次独立であるとき、この平面上の任意のベクトル (始点がOでないベクトルも、始点がOに来るように平行移動して考えます)をとります。
Pが直線OA上の点なら、か、またはと表せます。
ならば、として、と表せます。
ならば、として、と表せます。
Pが直線OB上の点の場合も、か、または、として、と表せます。
Pが直線OA上にも、直線OB上にもないとき、右図のように、点Pを通り直線OBに平行な直線と直線OAとの交点をC,点Pを通り直線OAに平行な直線と直線OBとの交点をDとすると、四角形OCPDは平行四辺形で、 ・・・@
一方、
Cは直線OA上の点なので、 ・・・A と表されます。
Dは直線OB上の点なので、 ・・・B と表されます。
A,Bを@に代入することにより、
と表すことができます。
以上より、平面上の
2つのベクトル1次独立であるとき、この平面上の任意のベクトルは、 (stは実数)の形に表すことができます。
(3)の後段については、2通りに表されたとします。 ・・・C
ここで、
だとすると、 ・・・D
なので、かつですが、このときDは、 // であることを意味するので、1次独立でなくなってしまいます。
よって、
,Cより、
これは、となる実数stの組がただ1通りであることを意味します。

(3)に出てくる、 (stが実数)という形を、1次結合と言います。
ベクトルの問題は、
2つの1次独立なベクトルをとって、問題中に登場するベクトルを1次結合の形に表して考えることが基本です。


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