線形計画法

いくつかの1次不等式:,・・・,
の全てを満たすようなに対して、の最大値・最小値を求めるという問題がある。
1次不等式が表す領域の共通部分Dを図示しておき、直線:kを動かして直線を平行移動させ、直線がDを通過するときのkの最大値と最小値を求めて、の最大値・最小値を求める方法を、線形計画法と言う。
「線形計画法」は、もともとは、コンピューターを使って最適条件を求めるためのアルゴリズムの名前。

「線形計画法」と言う名前は、直線を境界線とする領域で考える問題を言うのですが、領域Dは、必ずしも1次不等式の表す領域でなくても、領域を図示して、直線、あるいは、曲線が領域内を通過する条件を考えることにより、解ける問題はいくらもあります。

は、とおいて、kを動かします(直線は平行移動します)
は、とおいて、直線:の傾きkを動かします。
は、とおいて、直線:の傾きkを動かします。
は、とおいて、原点を中心とする円の半径を動かします。

 製品X1g製造するのに、材料14g,材料21g,材料34g使い、製品Y1g製造するのに、材料11g,材料23g,材料33g使う。材料1は全部で24kg,材料2は全部で18kg,材料3は全部で27kgある。製品XYの価格を1g当たり、それぞれ、10円,20円とするとき、最も売り上げを増やすためには、製品XYをそれぞれ何kgずつ製造するべきか。製品XYの価格が1g当たり20円,10円のときはどうか。製造したものはすべて売れるものとする。
解答 製品XYをそれぞれ、xkgykg製造するとします。
製品
Xxkg製造するのに、材料1kg,材料2kg,材料3kg使います。
製品
Yykg製造するのに、材料1kg,材料2kg,材料3kg使います。
材料1に関する条件は、 ・・・@
材料
2に関する条件は、 ・・・A
材料
3に関する条件は、 ・・・B
また、
です。
これらの条件を全て満たす
は、右図で黄色に塗られた領域(境界線を含む)です。
AとBの境界線の交点
Pを求めると、を連立し、
@とBの境界線の交点Qを求めると、を連立し、
製品XYの価格が1g当たり10円,20円のとき、売り上げは、万円です。
とおくと、傾きがの直線を表します。kを動かして直線を平行移動し、kが最大のところを探すと、直線が点Pを通るとき(右図の赤色の直線)です。点Pにおいては、なので、製品X3kg,製品Y5kg製造するときに最大の売り上げ万円が得られます。
製品
X3kg,製品Y5kg ......[]
製品XYの価格が1g当たり20円,10円のとき、売り上げは、万円です。
とおくと、傾きがの直線を表します。kを動かして直線を平行移動し、kが最大のところを探すと、直線が点Qを通るとき(右図の青色の直線)です。点Qにおいては、なので、製品Xkg,製品Ykg製造するときに最大の売り上げ万円が得られます。
製品
Xkg,製品Ykg ......[]


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