1次変換

この項目は、行列ベクトルの1次独立を参照してください。
n次元ベクトル空間内の1次独立なn個のベクトルの組が、,・・・,、及び、,・・・,2系統あるとします。
n次元ベクトル空間内のと、11対応し、fという操作によって、に対応するとき、f変換と言い、と表します。
さらに、変換
fが、任意の実数c,任意のベクトルに対して、
(i)
(ii)
を満たす(この性質を線形性と言います)とき、f1次変換と言います。

n次元ベクトル空間内のn個の単位ベクトルが互いに直交しているとき、この単位ベクトルの組を正規直交基底と言います。
正規直交基底として、
,・・・,をとり、
()
とします。
f1次変換のときには、線形性(i)(ii)が成り立つので、n次元空間内の任意のベクトル:に対して、

 
 
但し、
よって、1次変換fは行列を用いて記述できることがわかります。
また、逆に行列を用いて表せる変換は、線形性
(i)(ii)を満たすので、1次変換です。
上記のように、行列は、もともと、
のように表されていたベクトルを、のように表現し直しているので、基底,・・・,の組を基底,・・・,の組に入れ替えるという作業を行っているということがわかります。
行列
Aは、正規直交基底:,・・・,1次変換fの行き先のベクトルを列ベクトルとして横に並べた形:をしています。

上記において、
1次変換fに対して、行列Aのことを、1次変換f表現行列と言います。また、行列Aに対して1次変換fを、行列Aが表現する1次変換、というような言い方をします。

単位行列
Eの表す1次変換は、n次元座標空間内の点を自分自身に移すので、恒等変換と言います。

2次元座標平面における1次変換の代表的な例として、以下の変換があげられます。
(1) x軸に関する対称移動:表現行列は
 
(2) y
軸に関する対称移動:表現行列は
 
(3)
原点に関する対称移動:表現行列は
 
(4)
直線に関する対称移動:表現行列は
 

(
1次変換(その2)へつづく)


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