マクローリン展開

テーラーの定理:として、閉区間で連続、開区間n回微分可能な関数があるとき、
のときには、
のときには、
を満たすcが存在する。

[証明] 数学的帰納法により証明します。
のときは、テーラーの定理は、(Lagrange)平均値の定理と同じです。 ・・・(T)
のとき、命題が成り立つと仮定します。
また、
は、閉区間で連続、開区間回微分可能な関数だとします。
とすれば、は、閉区間で連続、開区間n回微分可能な関数です。
従って、
のときに命題が成り立つとした仮定により、
 ・・・@,
を満たすcが存在します。
Aを定数として、
 ・・・A
とおくと、

 
  ・・・B
@−Bより、
より、
Aに代入すると、

これは、証明すべき命題の等式で、とした等式です。
よって、
のときにも命題は成立します。 ・・・(U)
(
T)(U)より、命題が成り立つことが証明されました。
(証明終)
上記では、上記では、として考えましたが、の場合も全く同様です。

テーラーの定理の
の項をLagrangen次剰余項と言います。

テーラーの定理より、
aを含む区間で何回でも微分可能で、のとき、n次剰余項がとなるとき、つまり、

であるときには、
 ・・・C
と、無限級数の形に書くことができます。C式をテーラー展開と言います。
Cは、
aに近いxについて、の近似値を計算するのに使われている公式です。

C式で、特に、
とした式
 ・・・D
マクローリン展開と言います。大学入試問題のネタとしてしばしば取り上げられている公式です。

D式を簡単に求めるだけなら、以下のようにすればよいでしょう。
,・・・,,・・・を実数として、が、 ・・・E の形に書けたとします(必ず書けるというわけではありません)
E式で
として、
E式を微分すると、
を代入すると、
さらに微分して、
を代入すると、
さらに微分して、
 
を代入すると、
これをずっと繰り返していけば、D式のように、の係数が、となることがわかります。

1のとき、どんな自然数kについても、です。
より、のマクローリン展開は、

 

2のとき、,・・・
よって、
,・・・
つまり、
これより、のマクローリン展開は、

 

3のとき、より、
これは、 に対して、 というように変化します。
よって、
のマクローリン展開は、

 
は偶関数なので、偶数乗の項だけが出てくることに注意してください。

4のとき、より、
これは、 に対して、 というように変化します。
よって、
のマクローリン展開は、

 
は奇関数なので、奇数乗の項だけが出てくることに注意してください。

ここで、例
1.ののマクローリン展開において、 (iは虚数単位で)としてみます。

   
 
 
これと、例3.,例4.の結果を見比べると、
 ・・・F
と書けることがわかります。
F式の右辺は、複素数の
極形式で出てくる形です。
F式をオイラーの公式と言います。
F式の共役複素数を考えると、
として、
 ・・・G
F+Gより、
F−Gより、


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