行列と連立1次方程式

この項目は、行列行列の積逆行列を参照してください。
連立
1次方程式:
を行列を用いて表すと、

この行列Aを連立方程式の係数行列と言います。
が存在するとき、つまり、であるとき、解は、

2元連立1次方程式を考えます。上記のように行列を用いて、

と表されているとき、が存在するなら、両辺に左からをかけて、


これで、連立方程式の解が求められます。

1. 
行列を用いて、

 
......[]

2
元連立1次方程式の場合、行列を用いるよりも、普通に1文字消去して求める方が速いかも知れませんが、100元連立1次方程式、1億元連立1次方程式といった方程式を計算機で解かせることまで考えると、2元連立1次方程式を行列で扱うことにより有用な知見が得られるのです。

として、が存在しないとき、つまり、のときについて考えてみます。
但し、方程式として意味をもつように、
abは同時に0ではなく、cdは同時に0ではないことにします。
のとき、
(i) だとすると、なので、,また、です。
このときは、連立方程式は、
となり、のときには、直線上のすべての点の座標が解となり、のときには解は存在しません。
(ii) のとき、とおくと、

このときは、連立方程式は、となり、のときには、直線上のすべての点の座標が解となり、のときには解は存在しません。

以上で、
(i)のとき、(ii)のときには、は同一の直線を表しており、直線上の点の座標はすべて解となります。このときには、連立方程式の解は無数にあることになり、連立方程式は「不定」であると言います。
(i)のとき、(ii)のときには、は、異なる平行2直線を表しており、平行2直線は交点を持たないので、連立方程式の解は存在しません。このときには、連立方程式は「不能」であると言います。

2.連立方程式: の解が、実数aの値によってどのように変わるかを調べる。
[解答] 係数行列は、

よって、,即ち、 かつ のときには、ただ1組の解をもつ。
のときには、連立方程式は、ともに、となり、直線:上のすべての点の座標が解となり、解は無数にある。
のときには、連立方程式は、となり、異なる平行2直線を表すので、解は存在しない。

3.連立方程式: が、以外にも解を持つようにkの値を定める。
[解答] とすると、連立方程式は、 ・・・@ と書けます。
を左辺に移項して、 (E2次の単位行列)と見ると、
 ・・・A
ここで、
が逆行列をもつとすると、Aの左からかけて、


これでは、連立方程式の解が、だけになってしまいます。従って、は存在しません。つまり、です。

......[]

3
元以上の連立1次方程式については、基本変形を参照してください。


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