最大値・最小値の定理

最大値・最小値の定理:閉区間において連続な関数は、その区間内で最大値、最小値をもつ。

詳細な証明は専門的になるので省略します。
(i) 閉区間で連続ということは、が区間内のすべての実数xで定義されているということなので、となるにおいて、
'というようなことはありません。
'となるようなcがあるなら、が定義されないということだからです。
(ii) また、となるにおいて、閉区間内のすべてのxについてかつ'ということもありません。
は連続なのですから、であって、なら、であり、閉区間内のすべてのxについてであることに矛盾してしまうからです。
(i)(ii)より、閉区間内のすべてのxについてかつを満たす値が、閉区間におけるの最大値です。
同様に、最小値の存在を考えることができます。

なお、開区間
においては、がこの区間で単調増加な場合には、であって、がそもそも定義されないか、されたとしても、が値をとらないので、最大値、最小値をもちません。
開区間の場合には、最大値、最小値をもつ場合もありますが、どちらか、あるいは、両方とも、もたない、ということがあり得ます。

例.
3次関数は、より、増減表は以下の通り。
x12
00
22
増減表より、は、全実数においては、最大値、最小値をもちません。開区間においても最大値、最小値をもちません。
閉区間
では、最大値、最小値をもちます。
閉区間
においては、最大値,最小値をもちます。


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