平均値の定理

ロール(Rolle)の定理:関数が、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能なとき、が成り立つならば、を満たすcが存在する。

[証明] において連続だから、最大値・最小値の定理により、この範囲に最大値、最小値をもちます。として、が最大値、が最小値だとします。

のとき、最小値は最大値以下なのでです。
なら、においてつねに (は定数関数)ということなので、,つまり、であり、を満たす任意のcについて、です。
だとします。のとき、が最小値なので、であって、
 ・・・@
のとき、が最小値なので、であって、 (に注意)
 ・・・A
は微分可能なので、において、 ( @,A)

よって、とすれば、を満たすcが存在します。

のとき(は最大値なので、ということはありません)
のとき、が最大値なので、であって、
 ・・・@
のとき、が最大値なので、であって、 (に注意)
 ・・・A
は微分可能なので、において、 ( @,A)

よって、とすれば、を満たすcが存在します。

以上より、
を満たすcが存在します。 (証明終)


ラグランジュ(Lagrange)平均値の定理:関数が、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能なとき、

を満たすcが存在する。

注.この定理が、高校の教科書・参考書に「平均値の定理」として載っている定理です。
[証明] 関数:は、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能な関数であり、
より、
よって、はロールの定理の要件を満たすので、ロールの定理より、を満たすcが存在します。
より、のとき、
よって、を満たすcが存在します。 (証明終)

平均値の定理の左辺は、のグラフ上の2ABを結ぶ直線の傾きで、平均変化率です。
という範囲の中で両端を結ぶ直線ABと平行な接線をこの範囲の中のどこかで引くことができる、というのが、平均値の定理の視覚的意味です。覚えるときは、文字情報で覚えないで、視覚的意味の方を覚えましょう。

例.不等式:
を示す。
において微分可能な関数。

平均値の定理より、として、を満たすcが存在する。
より、



コーシー(Cauchy)の平均値の定理:関数が、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能で、であるとき、

を満たすcが存在する。

[証明] 関数:は、閉区間において連続かつ、開区間において微分可能な関数であり、
より、
よって、はロールの定理の要件を満たすので、ロールの定理より、を満たすcが存在します。
より、のとき、
よって、を満たすcが存在します。 (証明終)


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