単調増加関数,単調減少関数

関数について、2実数abが、であるとき、
であれば、単調増加関数
であれば、単調減少関数
という。

[] は、において、であれば、より単調増加
 
において、であれば、 ()より単調減少

区間(
開区間といい、と書く)において、微分可能な関数に関して以下のことが成り立つ。

区間において、
ならば、は単調増加関数
ならば、は単調減少関数

[証明] となるように2実数abをとる。
平均値の定理より、なる実数cが存在する。
であればだから、
よって、は単調増加関数。
であればだから、
よって、は単調減少関数。
[注意] という条件をにゆるめると、となる区間では関数の値が一定になる。
このとき、
(減少しないという意味で)広義の単調増加という。
但し、
となるxとして、のすぐ近くの周辺(近傍という)で、となるxが他になければ、は単調増加になる。
同様に、
のとき、は広義の単調減少で、となるxの近傍でとなるxが他になければ、は単調減少になる。

[] において微分可能でかつならば、は広義の単調増加で、
  において微分可能でかつならば、は広義の単調減少で、


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